Алексей Матросов родился 6 апреля 1991 года в Нарве (Эстонская ССР), играет на позиции вратаря. Начинал он в спортивной школе Паэмурру, выступал и за детские команды «Нарва Транс». Во взрослом футболе стал играть с 2008 года в эстонских II и III лигах. В 2010 году перешел в таллиннскую «Левадию», где играл за вторую команду, на следующий год стал получать время и в первой команде.

В 2012 году вернулся в «Нарва Транс», но в первой команде так и не дебютировал, играл, в основном, за йыхвиский «Локомотив», считавшийся дублем нарвского клуба. На следующие два года остался в Йыхви, где команда вышла из Эсилиги в Премиум Лигу. В 2015 году снова стал вратарем «Нарва Транс», дебютировал за первую команду 2 июня в домашнем матче против «Таммеки» (6:0).

В 2015 году сыграл за «Нарва Транс» в 12 матчах, на следующий год — в 23 матчах. В 2017 году проиграл конкуренцию Артуру Котенко и получил всего 5 шансов в первой команде, так что решил попробовать где-то еще. В январе 2018 Алексей принял предложение от таджикского «Худжанда», с которым в итоге стал серебряным призером чемпионата.

В 2019 году Матросов вернулся в «Нарва Транс», но сыграл всего 7 матчей, основным вратарем на тот год был вратарь сборной Эстонии Марко Меэритс. В том году он стал обладателем Кубка Эстонии. Сезон 2020 начинал тоже в роли второго вратаря, но из-за проблем со здоровьем Андреаса Вайклы стал основным. В итоге в 2020 года Алексей записал на свой счет 27 матчей (11 из них «на ноль»).

В 2021 году решил снова попробовать себя за рубежом, выбор опять пал на «Худжанд», с которым Матросов завоевал еще одно серебро чемпионата, а также кубок Таджикистана. С начала сезона 2022 Алексей Матросов снова защищает цвета «Нарва Транс», совмещает должности игрока и тренера вратарей.

На 18 апреля 2022 года у Алексея Матросова на счету 82 матча за «Нарва Транс». В Премиум Лиге же он сыграл 83 матча, пропустил 143 гола, а в 27 играх ворота остались «под замком».